Abstract FR:

Le but de cette these est l'etude theorique et l'implementation numerique de methodes de volumes finis pour des problemes d'evolution non lineaires lies a l'environnement et au traitement d'images. La premiere partie est consacree a des estimations d'erreurs pour l'approximation, par la methode des volumes finis, de deux variantes d'une equation non lineaire d'advection-reaction-diffusion. On montre tout d'abord l'existence et l'unicite de la solution discrete, et on etablit un principe du maximum. Des estimations d'erreurs dans differentes normes ont ete obtenues. La deuxieme partie porte sur la simulation numerique du transport de contaminants en milieu poreux ; on discretise par la methode des volumes finis d'une part l'equation de richards pour la pression liquide et d'autre part une extension de l'equation d'advection-reaction-diffusion etudiee dans la premiere partie, ou la fonction inconnue est une concentration. Les schemas etudies sont implicites en temps et on etudie en particulier l'influence des methodes de linearisation utilisees. Des tests numeriques sont presentes. Dans la troisieme partie, on etudie la convergence d'un schema de volumes finis approchant une variante non locale de l'equation de perona-malik, qui apparait en traitement d'images. On utilise une technique basee sur des estimations a priori et sur le theoreme de compacite de kolmogorov pour demontrer la convergence de la solution approchee vers la solution faible du probleme quand les pas d'espace et de temps tendent vers 0. La derniere partie porte sur l'application des resultats theoriques de la these a la mise en oeuvre d'un logiciel de simulation hydrogeologique talisman pour le bureau d'etudes hydroexpert.