Abstract FR:

La premiere partie de cette these presente une etude des proprietes de differentes notions d'ensembles triangulaires de polynomes et des algorithmes sous-jacents qui permettent de resoudre symboliquement les systemes d'equations algebriques. Nous montrons en particulier l'equidimensionnalite pure du sature d'un ensemble triangulaire, et en deduisons ensuite l'equivalence de notre notion simple d'ensemble triangulaire regulier avec celle de chaine reguliere. Nos nouveaux algorithmes permettent des decompositions triangulaires de systemes polynomiaux plus efficaces et des specifications plus fortes. La seconde partie traite de theorie de galois algebrique constructive par une nouvelle approche. Nous montrons avec a. Valibouze qu'un ideal de galois d'un polynome separable f associe a un groupe de permutations contenant le groupe de galois de f, est engendre par une base de grobner triangulaire. Grace a ce resultat de structure, nous developpons de nouveaux algorithmes (calcul de resolvantes relatives et de generateurs d'un ideal de galois). La troisieme partie est consacree aux aspects d'implantation, d'experimentation et applicatifs. Nous presentons un travail de comparaison experimentale de quatre methodes de decomposition triangulaire realise avec m. Moreno maza, puis donnons trois exemples d'applications de nos implantations (ideal de galois d'un polynome, compression d'images, probleme des n corps).