Abstract FR:

L'objet de cette these est l'etude de moyennes uniformisantes, utiles dans l'etude des series divergentes reelles. Ces moyennes, qui operent sur les transformees de borel (ou eventuellement les accelerees) des series divergentes, uniformisent les fonctions analytiques ramifiees au-dessus de l'axe reel positif. De plus, elles doivent concilier trois proprietes essentielles, mais souvent antagonistes: preserver la realite des series (pour que leurs resommees soient reelles), respecter le produit de convolution (dans le plan de borel) et, ce qui est peut-etre l'essentiel, preserver la croissance laterale des transformees de borel (pour pouvoir resommer les series). On etudie ainsi les moyennes de catalan et la moyenne brownienne, introduites par j. Ecalle, qui respectent ces trois imperatifs et verifient de nombreuses identites combinatoires et integrales. Ces moyennes font partie d'un ensemble plus vaste de moyennes uniformisantes: les moyennes induites par diffusion, elles aussi introduites par j. Ecalle. Pour ces dernieres, la preservation de la croissance laterale est obtenue par un procede d'erborification. Toutes ces moyennes uniformisantes ont un large domaine d'application dans l'etude des series divergentes associees a certains objets analytiques locaux (champs de vecteurs, equations differentielles, diffeomorphismes). Leurs trois proprietes sont parfaitement adaptees aux situations melant realite, non-linearite et divergence. Une bonne illustration en est la resommation des fleuves analytiques reels