Abstract FR:

Cette these est consacree a l'etude de la convergence presque partout des sommes de riemann associees a une fonction mesurable sur le tore. D'une part, a l'aide des criteres d'entropie etablis par j. Bourgain, nous exhibons des contre-exemples a la convergence presque sure de certaines moyennes de ces sommes, affinant ainsi un resultat anterieur de w. Rudin. Nous construisons des fonctions mesurables bornees sur le tore, telles que les moyennes habituelles et les moyennes ponderees, suivant les nombres premiers, divergent presque partout. Nous montrons aussi, qu'il existe une fonction dans l#p, 2 p , telle que les moyennes de cesaro d'ordre superieur ou egal a 1 ne convergent pas de facon presque sure. D'autre part, a partir de techniques plus analytiques et arithmetiques nous etablissons la convergence presque sure pour des suites d'entiers a croissance rapide, des moyennes usuelles. Enfin, nous donnons un lien entre les sous-suites d'entiers qui apparaissent lors de cette etude, suites de dimension finie, suites de rudin et suites de largeur finie, et les classes d'ensembles de vapnik-chervonenkis.