Abstract FR:

D'apres un theoreme d'a. M. Odlysko (1975), nous savons qu'il n'existe qu'un nombre fini de corps de nombres galoisiens a multiplication complexe principaux (c'est-a-dire de nombre de classes un). En 1994, k. Yamamura a determine la liste complete des corps abeliens a multiplication complexe principaux. Le but de cette these est de faire la meme chose pour le cas diedral (ou plus exactement de resoudre le probleme des corps diedraux a multiplication complexe de nombre de classes relatif un) et de completer ainsi les travaux anterieurs de s. Louboutin, r. Okazaki et m. Olivier. La partie algebrique de ce travail consiste a developper un moyen efficace de construire les corps diedraux a multiplication complexe. Nous utilisons pour cela la theorie du corps de classes et le lien entre corps diedraux et groupes de caracteres sur certains groupes de classes de rayon. La partie analytique de cette these a deux objectifs : d'abord obtenir de bonnes minorations des nombres de classes relatifs afin de se ramener a une liste reduite de corps diedraux a multiplication complexe pouvant etre de nombre de classes relatif un, et ensuite de trouver un moyen efficace de calculer effectivement ces nombres de classes relatifs. Finalement nous trouvons qu'il existe exactement 43 corps diedraux non-abeliens a multiplication complexe de nombre de classes relatif un, et que 32 parmi eux sont de plus principaux. Le degre maximal d'un tel corps est 24.