Abstract FR:

Cette these porte sur l'etude d'un probleme a frontiere libre de type bernoulli. Plus precisement on recherche un domaine de forme annulaire de l'espace a n dimensions sur lequel existe une solution pour une certaine equation aux derivees partielles surdeterminee (c'est-a-dire que le gradient de la fonction solution doit satisfaire une certaine condition sur la frontiere du domaine inconnu). Ce probleme intervient dans de nombreuses situations physiques (comme, par exemple, le formage electrochimique) et a ete beaucoup etudie ces dernieres annees. Dans ce travail, on reprend une ancienne methode, due a a. Beurling en dimension deux, pour prouver l'existence de solutions a ce probleme par l'introduction de sous et sur-solutions geometriques et on generalise cette methode a la dimension n. Nous comparons ensuite les solutions que nous avons obtenue avec celles obtenues par d'autres auteurs, comme h. W. Alt et l. Caffarelli par exemple. On prouve aussi, sous certaines hypotheses, la regularite lipschitzienne de la frontiere libre. On s'interesse egalement a l'unicite de la solution ainsi qu'a des questions geometriques comme certaines symetries ou la convexite. Enfin, on developpe un algorithme de calcul de la solution en dimension deux, base sur l'utilisation de transformations conformes, et on etudie la convergence de cet algorithme