Abstract FR:

Nous étudions les extrémales du problème variationnel contraint (m,y + ,,) ou y est un champ de vecteurs sur la variété m,, est une distribution de rang constant et une 1-forme différentielle. A ce problème variationnel (m,y + ,,) est naturellement associé un problème variationnel, sans contrainte, (z##0,tz##0,##0 - h##0) sur le sous-fibre affine z##0 = #0 + ,# de t* m, ou #0 , r,,# est l'annulateur de la distribution , avec la fonctionnelle l = ##0 - h##0 (##0 et h##0 sont restrictions de la forme de liouville et de la fonction h() = < - #0,y > a z##0). Dans la première partie de la thèse nous comparons les extrémales des deux problèmes variationnels dans le contexte ou les trajectoires ne sont pas supposées lisses à priori, mais absolument continues. Nous montrons en particulier que dans le cas dit normal, les deux problèmes variationnels sont équivalents. En fait les extrémales du problème sans contraintes (z##0,tz##0,##0 - h##0) sont exactement les extrémales normales du principe du maximun de pontriaguine du système contrôlé associé au problème contraint (m,y + ,,). Dans la deuxième partie, suivant que la forme ou la distribution sont fixées, nous utilisons le lien entre les problemes variationnels pour trouver des conditions génériques, afin qu'une extrémale normale soit projection d'une courbe intégrale d'un champ hamiltonien défini sur z##0. Ensuite, ce formalisme est appliqué aux groupes de lie pour obtenir une formulation hamiltonienne pour les problèmes variationnels invariants à gauche.