Abstract FR:

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur certains problèmes non linéaires et non compacts et s'organisent autour de deux axes principaux : bifurcation globale pour certains problèmes semi-linéaires elliptiques non compacts d'une part et existence locale et comportement global des solutions pour certains problèmes paraboliques dégénérés. La première partie est consacrée à l'étude de deux problèmes semi-linéaires elliptiques non compacts. On démontre pour chacun de ces deux problèmes, l'existence de branches globales de solutions dans R x H ou dans R x L#. Les résultats obtenus sont surprenants et se distinguent de ceux obtenus par la théorie de la bifurcation de Rabinowitz qui ne peut s'appliquer que dans le cadre de problèmes compacts. Les deux problèmes abordés ont des types de défaut de compacité différents : le premier est lié au fait que l'on se place dans un ouvert non borné et le second résulte d'une dégénérescence de l'operateur. Les résultats concernant le second problème ont été obtenus en collaboration avec M. J. Esteban. Enfin, pour certaines non linéarités, des résultats d'unicité et de stabilité des solutions sont établis. La seconde partie porte sur l'étude de deux problèmes paraboliques dégénérés. Des résultats d'existence locale, d'explosion en temps fini ainsi que de convergence vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini, sont démontrés. Pour le second problème, on exhibe un paramètre critique d'explosion qui permet d'établir une complète description du comportement global des solutions de ce problème.