Abstract FR:

La these est divisee en trois chapitres qui peuvent etre lus independamment. Le theme unificateur est la notion de mineur d'une matrice. Plus precisement, on cherche a obtenir des moyens de calculer efficacement dans l'algebre engendree par les mineurs d'une matrice generique. Le premier chapitre est un expose totalement renouvele des resultats classiques concernant les relations algebriques entre mineurs. Les traits essentiels sont a) une notation compacte et commode des sommes de produits de mineurs sous forme de tableaux de young, b) la derivation de toutes les identites classiques par specialisation d'une identite tres generale due a h. W. Turnbull. Ces principes permettent aussi d'obtenir des identites nouvelles, qui sont presentees a la fin du premier chapitre. Le deuxieme chapitre montre les applications de ces idees dans le domaine des fonctions symetriques. La base lineaire la plus importante de l'anneau des fonctions symetriques est la base des fonctions de schur. Ces fonctions pouvant etre exprimees comme les mineurs d'une matrice particuliere, certaines des identites qu'elles satisfont resultent des relations generales du premier chapitre. On s'interesse ici aux fonctions de schur associees a des partitions escalier, rectangle, et a des partitions formees d'un rectangle et d'un escalier. On montre que les relations algebriques entre ces fonctions sont reliees aux polynomes orthogonaux, a la division euclidienne ainsi qu'a des generalisations de ces notions. Le troisieme chapitre est consacre a un nouvel algorithme de decomposition des sommes de produits de mineurs sur la base standard de l'espace qu'elles engendrent (redressement). L'idee principale est de transporter les calculs dans l'anneau des polynomes modulo l'ideal engendre par les polynomes symetriques. On peut alors utiliser le produit scalaire naturel de cet anneau et ramener le redressement a la construction d'un arbre. L'implementation de cet algorithme conduit a un programme de 10 a 150 fois plus rapide que les meilleures implementations connues