Abstract FR:

L'objet de cette thèse est l'étude des équations mutationnelles qui adaptent aux espaces métriques les équations différentielles dans les espaces vectoriels. Les résultats obtenus se divisent en deux groupes : ceux qui concernent les équations mutationnelles dans un espace métrique quelconque, et ceux qui concernent les équations mutationnelles morphologiques dans le cas particulier de l'espace de Hausdorff des sous-ensembles compacts non vides d'un espace vectoriel de dimension finie. Dans le cas de l'espace des compacts non vides muni de la distance de Hausdorff, nous avons utilisé les caractérisations des tubes viables et invariants pour caractériser les primitives de transition en termes de Co différentielles de dérivées des tubes, ce qui a permis de faire un lien avec les autres travaux concernant la propagation des fronts généralement décrits comme ensembles de niveau de solutions d'équations d'Hamilton Jacobi. Nous avons étudié le problème de l'équivalence de transitions morphologiques en un ensemble, et ainsi pu caractériser les solutions stationnaires d'une équation mutationnelle morphologique, qui sont les ensembles invariants et rétrogradement viables, appelés dès lors équilibres. Pour résoudre ces problèmes, la technique de projection d'un point sur les ensembles de niveau exige trop de régularité, mais cette difficulté disparait si nous remplaçons le projecteur par ce que nous appelons le chronecteur sur un sous-ensemble, qui associe à tout point les éléments de ce sous-ensemble atteints en temps minimal par les solutions d'une l'inclusion différentielle. Cela redonne le projecteur lorsque l'inclusion différentielle est associée à la boule unité euclidienne. Nous avons étudié systématiquement ce nouvel objet et construit une sous-correspondance équivalente à une transition en un ensemble. Les problèmes de viabilité dans le cas de l'espace des formes deviennent nombreux et variés. Le plus général de ces problèmes concerne l'évolution des tubes vérifiant la contrainte d'intersection non vide appelée contrainte d'opérabilité. Nous avons caractérisé les systèmes d'équations mutationnelles régissant l'évolution des ensembles vérifiant la condition d'opérabilité. Dans le cas des espaces métriques quelconques nous avons étudié les primitives d'une équation mutationnelle. Nous en avons déduit les propriétés de continuité de la correspondance solution, ce qui a permis d'adapter au cas des espaces métriques le concept de noyau de viabilité et de bassin de capture d'un ensemble ferme par une équation mutationnelle. Nous avons enfin adapté aux espaces métriques l'algorithme des montagnes russes de recherche d'un minimum global d'une fonction qui consiste à appliquer une méthode de descente de gradient à la plus petite fonction de Liapounov majorant la fonction à minimiser, dont les minima sont les minima globaux de la fonction originale.