Abstract FR:

Dans cette these on etudie des groupes de type fini. On s'interesse surtout aux reseaux de q-rang un des groupes de lie semisimples et a leur comportement par rapport aux quasi-isometries. On emploie la methode d'etude introduite par m. Gromou, qui est de regarder la geometrie a grande echelle du graphe de cayley associe au groupe dans une presentation fixee. Une maniere de voir cette geometrie est d'etudier les invariants de quasi-isometrie du graphe de cayley. On utilise un nouvel outil, le cone asymptotique, introduit par m. Gromou, van den dries et wilkie. On demontre que la propriete d'un espace metrique geodesique d'etre hyperbolique est equivalente a la propriete que tous les cones de l'espace soient des arbres reels. On s'interesse aussi a la caracterisation des invariants de quasi-isometrie avec le cone asymptotique. Les invariants de quasi-isometrie auxquels on s'interesse sont l'ordre de la fonction de croissance et l'ordre de la fonction de dehn. On montre qu'une croissance polynomiale est equivalente a la propriete des cones d'etre propres. On montre que pour certains reseaux de q-rang un l'ordre de la fonction de dehn est au plus cubique. Comme consequence d'un resultat intermediaire on trouve une preuve geometrique du theoreme de lubotzky-mozes-raghunathan dans le cas des reseaux de q-rang un: la metrique des mots d'un reseau non-uniforme est bilipschitz equivalente a la metrique induite par le groupe de lie