Abstract FR:

On etudie dans cette these certains problemes variationnels ou des energies de surface et de volume entrent en competition. Le premier probleme aborde concerne une energie e definie pour tout ensemble comme la surface de sa frontiere plus un autre terme homogene grossierement parlant a un volume. On etudie le probleme de la minimisation de e parmi tous les candidats de mesure de lebesgue fixee. On montre des resultats d'existence et de regularite pour la frontiere des minima. L'uniforme rectifiabilite avec des parametres universels est une premiere etape. Puis on montre que les minima de e sont des quasi minima pour le perimetre. Des resultats connus, dont on demontre des versions quantitatives uniformes, nous disent alors qu'en dehors d'un ensemble ferme de dimension au plus n-8, la frontiere des minima normalises est localement le graphe d'une fonction dont la derivee est holderienne. Ces resultats sont valides de maniere plus generale pour les quasi minima pour le perimetre avec contrainte de volume. On etudie aussi les composantes connexes des minima (volume, position relative). Le deuxieme probleme aborde concerne la generalisation de la fonctionnelle de mumford-shah en dimension quelconque. On demontre la generalisation d'un resultat de g. David en dimension 2 concernant la regularite de l'ensemble des contours d'une paire reduite minimisante.