Abstract FR:

On etudie la dynamique asymptotique en presence de bruit de reseaux neuronaux asymetriques, aleatoires et recurrents dont la taille tend vers l'infini. Le systeme evolue de maniere synchrone et a temps discret sur un intervalle de temps borne. Dans le cas de connexions synaptiques gaussiennes, on montre a l'aide des methodes developpees par ben arous et guionnet que l'image de la loi des etats d'activation des neurones par la mesure empirique satisfait un principe de grandes deviations quand le nombre de neurones tend vers l'infini. On en deduit plusieurs resultats : _ la loi du potentiel d'activation de chaque neurone converge vers une gaussienne, dont la moyenne et la covariance sont donnees par des relations de recurrence qui portent le nom d'equations de champ moyen. _ asymptotiquement, les etats d'activation d'un nombre fini de neurones tendent a se comporter comme des vecteurs aleatoires independants entre eux : c'est la propagation du chaos. _ une loi des grands nombres est egalement etablie. La demonstration de ces trois proprietes est ensuite etendue au cas de connexions non gaussiennes et a des reseaux comportant plusieurs populations de neurones. On s'interesse enfin au comportement asymptotique en temps des grandeurs decrites par les equations de champ moyen. Pour les reseaux a une population, on montre sous certaines hypotheses l'existence d'un regime de point fixe. Par ailleurs, en presence de deux populations differenciees, on observe numeriquement une plus grande richesse dynamique au sein des equations de champ moyen : des dynamiques cycliques et chaotiques sont ainsi mises en evidence. Ce phenomene peut etre rattache au concept de synchronisation en biologie.