Abstract FR:

Dans cette these, nous etudions la classe des processus gaussiens elliptiques. L'espace auto-reproduisant h d'un tel processus admet pour produit scalaire la forme de dirichlet d'un operateur a differentiel ou pseudo-differentiel. Dans un premier article a est un operateur differentiel d'ordre 2p uniformement elliptique, a coefficients mesurables en dimension 1. L'aspect local de l'operateur correspond a la propriete de markov d'ordre p du processus x. La construction d'une base orthonormale de h formee d'ondelettes permet d'obtenir, en travaillant sur la decomposition de x au moyen de cette base, les lois du module de continuite uniforme et local du processus d#(#p#-#1#)x, derivee d'ordre p-1 de x. Dans un second article l'operateur a (d'ordre 2 et en dimension 1) n'est plus necessairement uniformement elliptique. Son coefficient dominant peut presenter une singularite ou un pole en un point s isole. L'utilisation d'une base d'ondelettes adaptee permet de mettre en lumiere des phenomenes qualitativement nouveaux sur le module local de continuite du processus en s. Elle permet aussi de fournir un estimateur statistique du coefficient principal de a. Dans un troisieme article, a est un operateur pseudo-differentiel en dimension d et sous des hypotheses d'ellipticite appropriees (la norme de h est equivalente a celle d'un espace de sobolev d'ordre m/2 homogene ou non) il est encore possible de construire une base orthonormale d'ondelettes puis d'obtenir les modules de continuite uniforme et local, avec les constantes exactes. Le cas ou m-d est un entier pair est un cas critique. L'introduction d'operateurs de renormalisation permet de definir et caracteriser la notion d'auto-similarite locale asymptotique