Abstract FR:

On appelle 3-tissu de dimension r sur une variete reelle ou complexe m de dimension 2r la donnee de trois feuilletages deux a deux transverses. La premiere partie de la these est consacree a la dimension 2, (r = 1). Il s'agit de trouver sous quelles conditions un tissu est linearisable, c'est a dire modulo un diffeomorphisme local, le tissu est lineaire forme de 3 familles des droites. Une ancienne conjecture due a gronwall (1912) affirme d'autre part que, si un tissu a courbure non nulle est linearisable, alors les diffeomorphismes qui le linearisent different d'une transformation projective. On ramene le probleme a l'etude d'une equation differentielle faisant intervenir les sections d'un sous-fibre du fibre des 2-formes vectorielles, qu'on appelle fibre des prelinearisations. On montre que les solutions de cette equation differentielle sont a valeurs dans une variete algebrique a de degre au plus 15. Si a est le vide le tissu n'est pas linearisable ; sinon le degre de a donne une majoration du nombre de classes de linearisations. On obtient explicitement les equations de a. Ainsi, on est en mesure de decider si un tissu est linearisable ou non et de fournir les premiers exemples de tissus non linearisables. Quant a la conjecture de gronwall elle consiste maintenant a montrer que le radical de la famille des polynomes definissant a est de degre 1. Dans la seconde partie de ce travail, on aborde le cas des 3-tissus dans une variete de dimension 2r, r plus grand que 1. Par une methode analogue a celle employee pour determiner le tenseur projectif de weil d'une connexion, on met en evidence 3 invariants, t, k, k, de la structure tensorielle au sens de hangan. On montre que t = 0 caracterise les tissus isocliniques ; k = 0 les tissus transversalement geodesiques (donc t = 0 et k = 0 les tissus grassmannisables) ; enfin t = 0, k = 0 caracterisent les tissus parallelisables.