Abstract FR:

Nous nous intéressons à deux problèmes particuliers de régularité au bord d'applications holomorphes. Dans un premier temps, nous étudions l'analyticité d'applications de Cauchy-Riemann lisses entre hypersurfaces analytiques réelles des espaces complexes. Nous commençons par réexposer un théorème de Baouendi, Jacobowitz et Treves sur l'analyticité de difféomorphismes de Cauchy-Riemann lisses entre hypersurfaces (ou variétés CR) essentiellement finies. Nous établissons ensuite un résultat d'extension d'applications de Cauchy-Riemann entre hypersurfaces holomorphiquement non-dégénérées (au sens de Stanton) via un principe de réflexion. Nous donnons aussi une caractérisation en termes algébriques, de la non-dégénérescence holomorphe de toute hypersurface algébrique réelle. Le résultat d'extension confirme une conjecture qui affirme que tout difféomorphisme de Cauchy-Riemann lisse entre deux hypersurfaces minimales (au sens de Tumanov) holomorphiquement non-dégénérées et analytiques réelles est en fait analytique. Dans un deuxième temps, nous étudions les germes d'applications holomorphes entre hypersurfaces algébriques réelles des espaces complexes. Nous démontrons un résultat qui généralise un théorème de Baouendi et Rothschild qui affirme que tout biholomorphisme entre hypersurfaces algébriques réelles holomorphiquement non-dégénérées est une application algébrique.