Abstract FR:

Les transformations d'Ornstein sont au cœur de ce travail. Ornstein les a introduites en 1967 dans un article fondateur de la notion de rang un. La présentation ainsi que l'étude des propriétés ergodiques de ces transformations sont l'objet du premier chapitre, une version complète en est parue dans le livre de la théorie spectrale de M. G. Nadkarni, une version courte est à paraitre dans Canadian Mathematical Bulletin. Le second chapitre est constitué d'un article à paraitre dans Israel Journal of Mathematics, on y établit par voie spectrale une classification presque sure de ces transformations, en adaptant et en généralisant les méthodes d'analyse harmonique de J. Bourgain. Au troisième chapitre, on montre via les techniques du théorème de Weiner-Wintner qu'une classe de transformations d'Ornstein, distincte de la classe mélangeante d'Ornstein, est faiblement mélangeante, ce travail est en lien avec le problème du faible mélange des échanges d'intervalles. Finalement, au quatrième chapitre, on apporte une réponse positive au problème de singularité du type spectral d'un rang un par rapport à ses translates dans le cadre des transformations d'Ornstein, on en déduit que la multiplicité spectrale des puissances de ces transformations est presque surement un, ce qui entraîne tout simplement que l'ensemble des systèmes de rang fini contient des transformations mélangeantes à spectre simple et ceci est bien évidemment en lien avec une vieille question attribuée à Banach sur l'existence d'un système dynamique à spectre de Lebesgue simple.