Abstract FR:

Cette thèse de mathématiques appliquées se situe au carrefour des équations aux dérivées partielles (edp) et de l'analyse stochastique. Elle comporte deux parties relativement indépendantes. La première écrite en collaboration avec Elisabeth Rouy concerne l'obtention des estimées de Wentzell-Freidlin pour des processus de diffusion réfléchis. Ce résultat généralise au cas où la direction de la réflexion est une fonction lipschitzienne du bord les résultats obtenus par Doss et Priouret pour une reflexion normale. La méthode consiste formellement à estimer les petites probabilités à l'aide de la solution d'une edp, à faire un changement de variable logarithmique et à passer à la limite dans la nouvelle équation ; un résultat d'unicité forte pour les solutions de viscosité permet alors d'identifier la limite comme étant la fonctionnelle d'action recherchée. Introduire des edp n'est possible que pour des sous-ensembles particuliers de l'espace de trajectoires (boules et intersections de complémentaires de boules) mais une propriété de compacité de la fonctionnelle d'action permet d'obtenir le résultat pour un borelien quelconque. La seconde partie porte sur les équations différentielles stochastiques rétrogrades (edsr) dans le cas de la croissance quadratique du coefficient (ou générateur) et de leurs liens avec les edp. Les edsr ont été introduites par Pardoux et Peng en 1990 et ces auteurs ont aussi donné des résultats d'existence et d'unicité de solutions adaptées (y, z) lorsque le coefficient est uniformément lipschitzien. Cette partie donne d'abord des résultats d'existence d'unicité et de stabilité pour des edsr dont le générateur est a croissance quadratique dans la variable z dans le cas ou y est à valeur réelle et la condition terminale est bornée. Puis les liens avec les solutions des edp correspondantes sont établis pour des solutions de viscosité et de Sobolev de celles-ci.