Abstract FR:

Cette these s'attache a definir et utiliser des notions de formes differentielles, de laplaciens et de courbure adaptees a la geometrie de contact. Afin de respecter l'anisotropie naturelle de l'espace tangent des varietes de contact, nous sommes conduits a construire un complexe de formes differentielles modulo formes de contact. Nous montrons que sa cohomologie coincide avec celle de de rham de la variete, puis que les laplaciens issus de ce complexe possedent une regularite analytique: l'hypoellipticite maximale. Ceci nous permet de disposer des resultats classiques de representation harmonique. Dans la deuxieme partie, nous nous proposons de degager des criteres d'annulation de la cohomologie en adaptant des formules a la weitzenbock pour les laplaciens construits. On se place pour cela dans le cadre de la geometrie pseudo-hermitienne. Les conditions d'annulation obtenues ont l'avantage de faire appel a des elements de courbure de degre moindre qu'en geometrie riemannienne. Enfin, en etudiant les geodesiques de carnot-caratheodory, nous etablissons un critere de compacite en dimension 3. Celui-ci est l'analogue, en geometrie pseudohermitienne, du theoreme de myers