Abstract FR:

L'objet de cette these est l'etude d'une classe d'operateurs elliptiques homogenes d'ordre superieur sous forme divergence, sur r n, a coefficients complexes, independants du temps et peu reguliers. Nous nous interessons tout particulierement a la taille et a la regularite du noyau du semi-groupe engendre par un tel operateur. Ces operateurs sont de la forme l 0 = $$ | | = m , | | = m (1) md (a d ), ou a , l (r n,c) independants du temps. On suppose en outre que ces operateurs sont elliptiques au sens de l'inegalite de garding forte : il existe une constante 0 > 0 telle que pour tout u , h m(r n), re $$. Davies a montre que le noyau k t(x,y) du semi-groupe e - t l o a toujours une estimation gaussienne superieure lorsque n < 2m. Auscher et tchamitchian ont etendu ce resultat au cas de l'egalite (i. E. N = 2m). Pour le cas restant, davies a donne des contre-exemples mettant en defaut la borne gaussienne. Le resultat principal de cette these est l'equivalence, lorsque n > 2m, entre les deux proprietes suivantes : (i) il existe une constante c 0 > 0 telle que pour tout r > 0, x 0,r n et pour toute solution faible v de l 0v = 0 sur b r(x 0), on ait pour tout 0 < r r, $$. (ii) il existe l , 0, 1,, m 1,v , 0,1 et des constantes c et a > 0 telles que, pour tout t > 0 et x,y,h , r n, on ait $$. La preuve de ((i) (ii)) repose en grande partie sur la methode de morrey-campanato. Celle-ci permet l'amelioration de la regularite elliptique dans les espaces qui portent le meme nom. Pour la partie ((ii) (i)), l'outil est une inegalite de type caccioppoli sous une condition d'ellipticite mois forte, a savoir l'ellipticite au sens de garding : pour tout $$, ou c est une constante dependant uniquement de $$ et de l'ellipticite. Une autre partie de la these est consacree aux exemples et aux applications de cette equivalence. Le point essentiel est qu'il est facile en general de verifier la condition (i), ce qui implique les estimations gaussiennes. Nous avons etudie en particulier le cas des coefficients uniformement continus ou dans vmo. Une generalisation des operateurs du type (a), ou a est une fonction non reguliere, a ete traitee. Nous avons etudie egalement des problemes lies a la theorie de la perturbation, notamment le probleme des perturbations multiplicatives et de la perturbation par des termes d'ordre inferieur.