Abstract FR:

Cette these etudie un probleme de perturbation singuliere en dimension un pour un probleme aux limites concernant un operateur de type schrodinger. Ce dernier depend d'un petit parametre strictement positif, et le potentiel, egalement positif, degenere au bord. Cette particularite conduit a introduire des espaces a poids bien adaptes au probleme. On peut alors montrer que le probleme admet une solution bien definie dans ces espaces, pour des donnees convenables. On indique ensuite comment on peut construire des solutions approchees grace a des operateurs integraux bases sur les fonctions d'airy. On peut enfin en deduire des formules asymptotiques pour la vraie solution lorsque le petit parametre tend vers 0. Les termes d'erreur sont controles uniformement par rapport au petit parametre. La seconde partie est consacree a l'etude du probleme spectral. Apres avoir determine la nature du spectre, on utilise les techniques de la premiere partie pour obtenir des developpements asymptotiques des premieres valeurs propres et des fonctions propres associees. Dans le cas de double puits, ce developpement asymptotique des fonctions propres ne suffit pas pour analyser l'effet tunnel. On les approche alors par une methode bkw basee sur les points tournants. On en deduit le premier terme de l'asymptotique de l'effet tunnel.