Abstract FR:

Designons respectivement par d et e le faisceau des operateurs differentiels sur une variete complexe et le faisceau des operateurs microdifferentiels formels sur le fibre projectif cotangent de la meme variete. Alors qu'en dimension superieure ou egale a trois la classification des e et d modules microlocalement libres de rang un est relativement simple, ainsi que l'ont montre d'agnolo et schapira, le cas de la dimension deux necessite a priori une etude speciale qui est l'objet de cette these. L'existence sur tout emodule microlocalement libre de rang un d'une filtration globale canonique permet de lui associer un amodule filtre d'un type bien defini, ou a est un faisceau d'algebres generalisant le faisceau d. Il est ensuite montre que cette correspondance est biunivoque grace a la construction explicite d'un foncteur inverse. Les resultats precedents sont ensuite appliques a la construction d'une equivalence de categories entre les dmodules microlocalement libres de rang un sans torsion et certains couples (f,l) ou f est un fibre vectoriel muni d'une connexion non integrable et l un sous fibre de rang un de f. De plus, par cette correspondance, un dmodule microlocalement libre de rang un sans torsion est localement stablement libre si et seulement f n'a pas de section horizontale non nulle.