Abstract FR:

Le but de cette these est d'etudier la resolution de problemes d'interpolation de hermite dans le plan, a l'aide de certaines familles d'elements finis dits composites, generalisant quelques elements finis classiques. Considerons une fonction suffisamment reguliere u sur un domaine polygonal borne d du plan, muni d'une partition t (resp. Q) en triangles (resp. Q) en triangles (resp. Quadrilateres). Nous cherchons des fonctions v, dont les derivees jusqu'a l'ordre r sont continues sur d, qui interpolent u et ses drivees au moins jusqu'a l'ordre r, en chaque sommet de t (resp. Q) et qui soient des splines polynomiales de degre n superieur a r, sur certaines sous-triangulations de t ou de q, obtenues en subdivisant chaque element de la partition en plusieurs triangles. Le procede de construction est local: l'interpolant est construit sur chaque element de la partition independamment des autres elements. Ceci nous conduit a resoudre des problemes d'unisolvence pour des schemas de donnees d'interpolation sur chaque element fini. Il existe en general des relations entre le degre n et l'ordre r de regularite globale. Nous montrons l'existence d'une valeur minimale du degre n pour une regularite r donnee, sous les contraintes mentionnees ci-dessus. Pour les elements finis triangulaires, nous constatons que cette valeur est d'autant plus petite que la sous-triangulation de t est plus raffinee et plus reguliere. Nous illustrons cette etude par plusieurs essais numeriques confirmant les resultats theoriques