Abstract FR:

Dans ce travail, on s'interesse au probleme de piatetski-shapiro, c'est-a-dire qu'on etudie diverses proprietes arithmetiques de la suite: partie entiere de n puissance c. On demontre que cette suite contient le nombre attendu de premiers pourvu que c soit inferieur a 1. 15447. . . , ameliorant ainsi le resultat de kolesnik pour c inferieur a 1. 147. . . On montre de plus que ce resultat peut s'etendre a presque tout c inferieur a 2, au sens de la mesure de lebesgue, et ceci pour des suites d'un type nettement plus general que celui enonce precedemment. On donne egalement une minoration du nombre attendu de premiers dans cette suite possedant le bon ordre de grandeur pour c inferieur a 1. 1666. . . , en utilisant le crible de rosser-iwaniec. Plusieurs problemes voisins ont ete egalement abordes. On donne une methode elementaire pour retrouver un resultat de balog sur la repartition de p puissance theta modulo 1. On montre que pour c inferieur a 1. 05851. . . , tout entier naturel impair assez grand s'ecrit comme somme de trois nombres premiers de la forme partie entiere de n puissance c, ameliorant la valeur 1. 05 donnee par balog et friedlander. On prouve enfin que le nombre de representation d'un entier comme somme de deux nombres de la forme partie entiere de n puissance c a l'ordre de grandeur escompte pour c inferieur a 6/5. La plupart de ces resultats sont dus a des estimations de sommes d'exponentielles, utilisant en particulier le double grand crible de bombieri et iwaniec