Abstract FR:

Cette thèse étudie la positivité de fonctionnelles bilinéaires définies dans des espaces de Sobolev et utilisant des produits scalaires classiques, à savoir ceux liés aux polynômes orthogonaux de Hermite, Laguerre et Jacobi dans le cas continu et ceux liés aux polynômes orthogonaux de Charlier et Meixner dans le cas discret. Nous donnons les domaines d - en fonction de certains coefficients - dans lesquels ces fonctionnelles bilinéaires sont des produits scalaires dans des espaces de Sobolev, ainsi que des propriétés sur ces domaines et sur les polynômes orthogonaux formels, dits de Sobolev par rapport à ces produits scalaires. Dans les cas Hermite, Charlier et apparentés, le domaine D est donné au moyen d'équations explicites qui définissent sa frontière. Par contre, dans les cas Laguerre, Jacobi et Meixner qui sont plus compliqués, le domaine D est défini comme une limite d'une hypersurface algébrique. D'autre part, dans le cas d'une dérivation, nous obtenons de nouvelles inégalités de Markov Bernstein. Nous traitons aussi la positivité de fonctionnelles bilinéaires définies à partir de paires cohérentes et paires -cohérentes de fonctionnelles linéaires définies positives. Nous espérons que ce travail trouvera un champ d'applications dans le cadre de l'approximation et la résolution spectrales des équations aux dérivées partielles.