Abstract FR:

Nous etudions le probleme de cauchy pour les equations de type kp par des techniques d'analyse harmonique developpees ces dix dernieres annees notamment par j. Bourgain, c. Kenig, g. Ponce and l. Vega. Nous considerons d'abord le probleme de cauchy pour l'equation de kp-ii. Nous demontrons que l'equation de kp-ii est localement bien posee avec des donnees dans l'espace de sobolev anisotrope h s 1 , s 2 x , y(r 2) pour s 1 > 1/3, s 20. Par ailleurs nous demontrons que l'estimation bilineaire cruciale n'est plus satisfaite pour s 1 < 1/3, s 20. Nous demontrons aussi que le probleme de cauchy pour l'equation de kp-ii est globalement bien pose pour des donnees dans h s 1 , s 2 x , y(r 2) pour s 1 > 1/310, s 20. Le nouvel ingredient technique est une generalisation de l'estimation bilineaire qui donne l'existence locale. Les equations de kp d'ordre 5 sont aussi etudiees. Nous demontrons des resultats pour les deux equations kp-i et kp-ii. En particulier, dans le cas de l'equation de kp-i d'ordre 5 nous demontrons que le probleme de cauchy est globalement bien pose dans l'espace d'energie malgre le mauvais signe dans la relation algebrique liee au symbole de l'operateur linearise.