Abstract FR:

Dans la premiere partie, on traite par l'approche de viscosite auto-similaire le probleme de riemann pour la loi de conservation scalaire et les systemes de type dynamique des gaz isentropiques en coordonnees de lagrange et d'euler. Dans chacun des cas, cette etude aboutit aux resultats d'existence et d'unicite de la solution wave-fan admissible pour toute fonction de flux continue. En particulier, on couvre le cas d'apparition du vide dans la dynamique des gaz et le cas des problemes mixtes avec transitions de phase. D'autre part, pour une loi de conservation scalaire multi-dimensionnelle avec une fonction de flux continue on demontre l'existence des solutions entropiques generalisees maximum et minimum dans le cadre l 1 l. On etudie la nature de ces solutions a l'aide de la theorie des semi-groupes non-lineaires ; ensuite, on etend quelques resultats d'unicite dus a benilan et kruzhkov. Dans la deuxieme partie, on traite de systemes elliptiques-paraboliques dont les coefficients peuvent dependre de (t, x). On demontre un theoreme de continuite des solutions variationnelles par rapport aux donnees et obtient ainsi le resultat d'existence de alt et luckhaus sous des hypotheses plus faibles, tout en mettant en evidence l'essentiel de leurs arguments. On applique ensuite les techniques developpees pour demontrer la convergence des schemas de volumes finis pour un systeme modele fortement nonlineaire, qui apparait dans la physique des milieux poreux. On propose ainsi une approche pour la convergence des methodes de volumes finis, ou la preuve se fait par reduction du cas discret au cas continu.