Abstract FR:

Il est connu qu’étant donné deux entiers n et d, il existe un entier k assez grand tel que toute fonction de classe c k sur un ouvert de r n vérifiant une équation polynomiale de degré d est analytique. Soit k = k(n,d) le plus petit entier qui vérifie cette propriété. Le but de ce travail est de donner une majoration explicite de k(n,d). Dans le premier chapitre on considère le cas n = 1. En se reposant sur le théorème de Puiseux et a l'aide de la notion de discriminant, on montre que k(1,d) 1/2d(d 1) + 1. En donnant des exemples, on montre que, asymptotiquement, k(1,d) > 1/4d 2. Ensuite on étudie le cas n = 2, on considère une fonction f(x,y) de classe c k vérifiant une équation polynomiale p(x,y,f(x,y)) = 0. La méthode consiste a faire des éclatements pour se ramener a une situation ou le discriminant de p est à croisements normaux, et on se ramène au cas d'une variable (a paramétré) le long des composantes du diviseur exceptionnel. On obtient finalement l'estimation k(2,d) 1/2d 3(d 1) 2(d(d 1) 1) + 1. Pour n > 2, on démontre que k(2,d) = k(n,d) a l'aide du théorème de Bochnak et Siciak duquel on donne une preuve complète. Dans la dernière partie on généralise le problème pour les fonctions a valeurs dans r m. Dans ce cas k = k(n,m,d) dépend aussi de m, l'estimation de cette borne est doublement exponentielle en m. On considère aussi une sous-variété semi-algébrique a de r n, de classe c k, on démontre qu'elle est analytique si k = k(n,d) d n $$ o ( 1 ), ou d est la somme des degrés des polynômes qui décrivent a. Ensuite on donne une méthode pour construire des courbes réelles de degré 4, 5 et 6 possédant des singularités du types a n avec n = 7,12,17 respectivement