Abstract FR:

Cette these est consacree a la generalisation des invariants d'arnold aux courbes planes a une ou plusieurs composantes. Je donne une definition axiomatique de ces nouveaux invariants que j'appelle a-invariants en reference a arnold. Un a1-invariant est une fonction localement constante sur les courbes generiques. Une courbe non generique presente une singularite qui peut etre soit un point tangent, soit un point triple, soit un point de rebroussement. Si on considere les diverses orientations des branches de courbe formant ces singularites, on distingue 9 types differents de singularites. A chaque a1-invariant j'associe 9 fonctions decrivant les sauts de cet invariant sur les courbes non generiques. Je montre que les neuf fonctions associees a un a1-invariant sont liees par six relations, laissant libres trois fonctions appelees fonctions principales associees a l'a1-invariant. J'introduis trois familles d'examples d'a1-invariants, ce sont des generalisations simples des invariants d'arnold st, j+ et j definies a partir des formules etablies par o. Viro et a. Shumakovitch. Elles permettent d'obtenir une description complete des a1-invariants. Je considere ensuite leur generalisation sur les courbes planes a deux ou trois composantes ordonnees : les a2 ou a3-invariants, ainsi que les invariants sur les courbes non orientees : les a-no-invariants. Le nombre de types de singularites s'eleve rapidement. Je donne des theoremes decrivant les a2, a1-no et a2-no-invariants.