Abstract FR:

La generalisation de la recurrence de levinson est etablie pour des matrices quelconques. D'abord, des matrices de covariances sont etudiees avec une approche geometrique dans l'espace de hilbert des variables aleatoires du deuxieme ordre. La recurrence de levinson est interpretee comme une relation de recurrence courte pour les erreurs de prediction avant et arriere a un pas d'un processus non-stationnaire. Les coefficients de reflexion se presentent comme un tableau triangulaire de couples de nombres complexes dont le produit est positif et inferieur a un. Une equivalence entre les noyaux de correlations non-stationnaires et les coefficients de reflexion est demontree et une procedure recursive simple pour obtenir les uns en fonction des autres est donnee. Ensuite, en se placant sur l'espace des polynomes de degre au plus egal a n muni d'une forme bilineaire induite par une matrice fortement reguliere, la recurrence est generalisee a quatre familles de polynomes bi-orthogonaux. Le cas des matrices possedant des sous-matrices singulieres est etudie aussi. Des factorisations approchees de l'inverse sont obtenues recursivement. Ces approximations jouent le role d'un preconditionneur efficace pour la methode du gradient conjugue. La procedure est toujours stable pour des matrices definies positives arbitraires. L'application de la recurrence aux matrices de toeplitz non hermitiennes conduit a une methode recursive pour l'identification de l'ordre d'un processus arma. Finalement, une contribution a la solution du probleme de l'extension des covariances est donnee : une condition necessaire et une condition suffisante sont etablies pour l'existence d'une extension ar d'une suite de covariances multidimensionnelles donnee sur un ensemble fini. Ces conditions sont des consequences de la generalisation de la notion de coefficients de reflexion et d'une construction hilbertienne d'une famille d'extensions.