Abstract FR:

Le but du travail est l'etude des semi-groupes integres et leurs applications aux equations d'evolution lineaires dans les espaces de banach. Certaines equations d'evolution connues ne sont en effet pas resolubles directement par la methode des semi-groupes fortement continus. C'est le cas de l'equation des ondes et de l'equation de schroedinger sur les espaces l#p, p=2. Au chapitre i, on introduit les semi-groupes n fois integres locaux et, en utilisant la transformation de laplace finie, on obtient une caracterisation complexe de leurs generateurs. De tels problemes ne peuvent en general pas etre traites par les techniques usuelles de transformation de laplace. On etablit une correspondance complete entre les semi-groupes integres locaux et les semi-groupes distributions, ainsi que le lien avec les semi-groupes fortement continus sur les espaces de frechet. Le chapitre ii etudie le lien entre les problemes de cauchy d'ordre un et deux avec application a l'equation des ondes sur l#p(), ouvert borne de r#n. Au chapitre iii, en s'inspirant de la methode de descente de hadamard, on montre que la (fermeture de la) somme de n generateurs de fonctions cosinus qui commutent sur un espace de banach e engendre une fonction cosinus (n-1)/2 fois integree sur e. D'autre part, des methodes de representation permettent d'obtenir encore une fonction cosinus si on se place dans un cadre hilbertien. Le quatrieme chapitre est consacre a l'interpolation et a l'extrapolation des c-semi-groupes. L'interpolation, deja apparente dans les chapitres precedents, montre que dans l'etude d'un probleme concret, le choix de l'espace fonctionnel est fondamental