Abstract FR:

Nous etudions le comportement asymptotique des derivees intrinseques d'une courbe evoluant sous l'action d'un systeme dynamique aleatoire regulier. Etant donnee une courbe c sur une variete riemannienne, nous designons par derivees intrinseques de la courbe c en un point m, les derivees a l'origine d'une parametrisation normale de la courbe transportee sur l'espace tangent au point m, par l'application exponentielle. En utilisant le theoreme ergodique multiplicatif d'oseledets, nous obtenons une condition suffisante sur les deux premiers exposants de lyapounov d'un systeme dynamique aleatoire regulier et reversible, pour que les premieres derivees intrinseques des images d'une courbe par ce systeme convergent. Cette condition n'exclut pas les systemes dynamiques aleatoires stables. La preuve proposee utilise un developpement des derivees intrinseques a l'aide de diagrammes et donne un procede recursif pour determiner les limites des derivees intrinseques. Lorsque le premier exposant de lyapounov est strictement positif, nous faisons le lien entre les limites des derivees intrinseques et les varietes instables associees a cet exposant. Nous verifions que la condition sur les exposants de lyapounov qui assure la convergence de la courbure est optimale, en etudiant une classe particuliere de systemes dynamiques aleatoires : les flots browniens isotropes sur la sphere. Plus generalement, nous montrons que la norme au carre du vecteur courbure de l'image d'une courbe par un tel systeme dynamique aleatoire est une diffusion et nous determinons son comportement asymptotique en fonction de la valeur des deux premiers exposants de lyapounov.