Abstract FR:

Les problemes qui sont abordes dans cette these sont des questions d'equivalences de conditions geometriques et de conditions dynamiques pour l'iteration de fonctions rationnelles de la sphere de riemann. Ces idees ont etees recemment explorees par carleson, jones et yoccoz dans leur article julia et john. Deux directions sont abordees. Premierement, des generalisations des conditions de semi-hyperbolicite et de john sont explorees. Plus precisement, les conditions de holder et les -pointes sont definies, et leurs proprietes sont etablies. En parallele, les conditions de collet-eckmann, et plus generalement, des conditions d'expansion le long de l'orbite critque et des conditions d'expansion dans les domaines de fatou sont aussi etudiees. En utilisant des proprietees connues des applications conformes, des relations exactes entre ces conditions sont etablies ; certaines equivalences sont conjecturees, mais seulement une partie a pu etre demontre, avec plusieurs resultats adjoint qui renforcent la conjecture. De plus, une theoreme assez precis est demontre qui relie la condition de collet-eckmann, une condition d'expansion sur tout le julia, et la condition de holder. On remarquera que ce theoreme est inspire d'un theoreme similaire en dynamique reelle. Deuxiemement, une remarque de carleson, jones et yoccoz est demontree : dans le cas semi-hyperbolique, il existe une metrique admissible sur l'ensemble de julia telle que la dynamique est expansive pour cette metrique. En fait, cette metrique est construite de facon tres explicite. De plus, une metrique admissible est definie dans un cadre tres general ; quelques proprietes interessantes, positives et negatives, de telles metriques sont demontrees.