Abstract FR:

Dans les deux premiers chapitres de cette thèse, nous étudions dans un premier temps le comportement asymptotique lorsque l'intervalle d'observation devient infiniment grand d'une famille de processus de diffusions à valeurs dans un espace de Hilbert séparable h, solutions des équations différentielles stochastiques suivantes : (e g) dX g t = a(X g t) + f(X g t)dt + e(X g t)dw(t) x g 0 = X , h. Nous prouvons, grâce à un théorème de C. Sunyach, pour chaque valeur du paramètre , l'existence et l'unicité d'une mesure invariante correspondant à la solution x g considérée. Cette méthode nous a fourni une inégalité qui assure la convergence étroite de la famille des mesures invariantes vers la masse de Dirac concentrée à l'origine. Ce dernier point nous dit, tout borélien a de h, dont l'adhérence ne contient pas l'origine, est de mesure limite nulle. Ainsi on s'est posé la question de savoir à quelle vitesse cette convergence a-t-elle lieu ? Nous avons trouvé que la convergence a lieu à une vitesse exponentielle, ceci grâce aux trois propriétés suivantes : _ propriété 1 l'uniformité du principe de grandes déviations de la famille (x g, > 0), qui a été montrée par S. Peszat. _ propriété 2 la formule suivante caractérisant la mesure invariante associée à un processus x g : () = hp X(X g(t) , ) g(dX). _ propriété 3 l'inégalité exponentielle suivante : for any l > 0, there exists r(l) such that lim g 0 sup ln g (X ; |X| r(l)) l. Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous avons étendu les résultats précédents dans un cas particulier, en prenant comme espace d'état du processus, l'espace l 2(0, 1), cela nous a permis de montrer d'une part que pour chaque > 0, t > 0, X g , c 0(0, 1), pour tout < 1/2, d'autre part en appliquant un lemme classique du à Garcia-Rumsey-Rodemich de montrer que les supports des lois des processus X g, sont des compacts particuliers de c 0(0, 1), car des boules fermées en normes hölderiennes. Enfin, en utilisant un lemme de D. Ioffe, et les résultats des chapitres précédents, nous établissons un principe de grandes déviations de la famille des mesures invariantes dans c ( 00, 1).