Abstract FR:

Cette these comporte deux parties traitant de sujets differents dont les racines communes sont la mesure de hausdorff de dimension 1 dans le plan et les proprietes de regularite qui lui sont associees. Dans la premiere partie, nous prouvons une condition suffisante de rectifiabilite portant sur la courbure de menger d'un sous-ensemble du plan, condition qui est dans la lignee de celle utilisee par p. Mattila, m. Melnikov et j. Verdera pour caracteriser les sous-ensembles du plan ahlfors-reguliers et de capacite analytique nulle. La preuve est basee sur la construction effective d'un graphe lipschitzien recouvrant presque tout l'ensemble par un argument de temps d'arret du a g. David et s. Semmes qui requiert, dans ce contexte, une formulation un peu differente de l'originale. Des extensions directes de ce resultat en dimensions plus grandes sont indiquees. Dans la seconde partie, nous menons une etude de la fonctionnelle de mumford-shah globale introduite par a. Bonnet pour etudier la regularite des minimiseurs de la fonctionnelle de mumford-shah classique utilisee en theorie de la segmentation d'images. Nous montrons dans un premier temps que des resultats connus, ahlfors-regularite et (uniforme) rectifiabilite, sur les minimiseurs de la fonctionnelle classique se transferent facilement au cas global, puis, grace a un calcul de variations elementaire et un peu d'analyse complexe, nous derivons une formule qui nous permet de traiter quelques cas particuliers importants non couverts par la theorie existante. Nous montrons finalement que cette formule entraine un theoreme de compacite sur l'ensemble des minimiseurs, ce qui nous permet d'affirmer que les resultats de regularite partielle deja connus dans le cas classique sont vrais dans le cas global.