Abstract FR:

On considere l'application quadratique reelle p a(x) = x 2 + a, ou le parametre a , r. D'apres le theoreme de jakobson, il existe une mesure invariante (par p a) et absolument continue (par rapport a la mesure de lebesgue sur l'espace dynamique), ou a. C. I. P. , pour un ensemble de parametres de mesure de lebesgue positive. On calcule la dimension de hausdorff de l'ensemble des points qui n'ont pas de bonnes proprietes d'expansion : l'ensemble -exceptionnel. Ce sont les points ne possedant pas de base de voisinages s'envoyant chacun de maniere univalente et avec distortion bornee sur un intervalle contenant une boule de rayon centree au point critique. On prend d'abord de l'ordre de la norme du point fixe negatif. Alors l'ensemble exceptionnel est compacte et invariant par une famille d'application g i, ou i 0. Une borne superieure c i (resp. Inferieure b i) sur le coefficient de la contraction g i donne une borne superieure d (resp. Inferieure d) de la dimension d'un compact invariant en resolvant c d i = 1 (resp. B d i = 1). Sous certaines conditions dites de forte regularite, de bonnes estimees sur les premiers c i et b i permettent d'estimer la dimension d'une approximation de l'ensemble exceptionnel. De plus, ces conditions impliquent que la dimension de l'ensemble exceptionnel et de cette approximation sont proches. Si m est le plus petit entier tel que |p m a(0)| < ||, alors l'ensemble des parametres fortement reguliers, pour lesquels il existe une a. C. I. P. Et tels que la dimension de l'ensemble exceptionnel est log m/m + $$(log log m/m), est de mesure de lebesgue positive. On adapte ensuite la combinatoire au cas d'un general. Pour les parametres fortement reguliers, il existe une a. C. I. P. Et la dimension de l'ensemble -exceptionnel est moins que log |log |/log.