Abstract FR:

Cette these porte sur l'etude dynamique des fractions rationnelles sur la sphere de riemann, et les methodes employees proviennent essentiellement de la chirurgie quasi-conforme et aussi d'une generalisation de david donnant les solutions de l'equation de beltrami. La premiere partie generalise la notion d'applications a allure polynomiale de douady et hubbard a celles de figuration et de silhouettes polynomiales. On montre que l'on peut accoupler des polynomes a des classes externes plus generales. Le probleme inverse est aussi aborde. La seconde partie s'interesse aux similitudes entre ensembles de julia comportant un point parabolique et n'en comportant pas. On donne deux approches : l'une par deformation (deformation par pincement, introduite par makienko, et perturbation de polynomes geometriquement finis) pour montrer que les polynomes sous-hyperboliques et geometriquement finis ont leur dynamique conjuguee sur les ensembles de julia ; l'autre par chirurgie, qui utilise le theoreme de david. La partie suivante est consacree aux polynomes quadratiques et a l'ensemble de mandelbrot. On caracterise dynamiquement les arbres de hubbard pour montrer que ses aretes sont supportees sur des quasidroites. Le reste traite de la modulation : on donne une demonstration detaillee du theoreme de modulation de douady et hubbard et on en deduit des corollaires topologiques. On construit aussi par chirurgie quasiconforme un polynome module, a partir du centre d'une petite copie de m et d'un autre polynome de m. La derniere partie porte sur la chirurgie croisee. Etant donnes deux polynomes verifiant une condition combinatoire, on definit leur croisement, polynome de degre plus grand, dont l'ensemble de julia ressemble a la superposition des deux autres ensembles au-dessus d'un point fixe. On montre l'existence du croisement de deux polynomes au-dessus de deux points fixes dont l'un n'est pas parabolique. On donne une definition du croisement qui caracterise a conjugaison conforme pres les polynomes resultant. Le dernier chapitre traite de la dependance par rapport a des parametres.