Abstract FR:

La these se divise en deux parties. Dans le premier chapitre, nous rappelons les differents resultats de concentration connus jusqu'a ce jour, en particulier sur les espaces produits. Ce chapitre presente trois approches differentes du phenomene de concentration. La premiere approche geometrique, liee au travaux de m. Talagrand, donne des inegalites de concentration sur les ensembles. A la suite de m. Talagrand, k. Marton, a. Dembo et o. Zeitouni ont developpe une methode basee sur des inegalites d'information de type pinsker sur les mesures. Enfin m. Ledoux, s. G. Bobkov et f. Gotze approchent le phenomene de concentration d'un point de vue fonctionnel, donnant lieu a des inegalites de concentration des fonctions autour de leurs moyennes. Nous nous proposons d'etablir des liens entre ces differentes approches dans le cadre des mesures produits. Puis nous elargissons les resultats a des mesures plus complexes. Plus particulierement, si (x#i)#i#$$#a#t#t#$$#z est un processus sur un espace probabilise (, a, p) satisfaisant de bonnes conditions de melange, et si p est la loi d'un echantillon de n variables aleatoires successives de ce processus, nous demontrons des resultats de concentration pour la mesure p avec des constantes independantes de la taille de l'echantillon n. Ces inegalites elargissent les resultats de concentration pour des mesures produits obtenus par m. Talagrand. La methode utilisee repose sur des inegalites d'information, introduites par k. Marton pour des mesures de chaines de markov contractantes. Par un simple argument de dualite, nous en deduisons aussi de nouvelles inegalites de sobolev logarithmiques. Nous developpons ensuite