Abstract FR:

G. D. Birkhoff a pose le probleme de riemann-hilbert pour les systemes fuchsiens aux q-differences lineaires, a coefficients rationnels. Il l'a resolu dans le cas generique (semi-simple) : l'objet classifiant est constitue de la matrice de connexion p et des exposants en 0 et. Nous reprenons sa methode dans le cas d'un systeme singulier regulier general, mais en traitant symetriquement 0 et , sans recours a des solutions a croissance sauvage et sans fonctions multivaluees : la matrice p est alors a coefficients elliptiques. Nous donnons ensuite de la matrice de connexion une interpretation geometrique : lorsque q tend vers 1, p tend vers une matrice localement constante $$p telle que les valeurs (en nombre fini) $$p(a) 1$$p(b) sont les matrices de monodromie du systeme differentiel limite (suppose non resonnant en 0 et ) en les singularites de c*. Enfin, dans une deuxieme partie, nous utilisons la matrice de connexion pour definir une categorie tannakienne equivalente a la categorie des equations aux q-differences fuchsiennes. Nous en deduisons un groupe de galois, dont nos decrivons dans plusieurs cas importants un sous-groupe zariski-dense qui a vocation a jouer le role de groupe de monodromie. Nous donnons une description geometrique de certaines composantes de ce groupe.