Abstract FR:

C. Sabbah a demontre l'existence d'equations fonctionnelles pour plusieurs fonctions holomorphes sur une variete analytique complexe, generalisant ainsi la notion de polynome de bernstein-sato. Le but de ce travail est le calcul explicite de telles equations dans les cas ou les fonctions sont toutes quasi-homogenes, ou toutes semi-quasi-homogenes, relativement a un systeme de poids donne, dans un systeme de coordonnees fixe. La premiere partie est consacree a la situation quasi-homogene. Apres avoir etudie quelques proprietes des ideaux quasi-homogenes de l'anneau des germes de fonctions holomorphes de plusieurs variables, nous donnons une preuve unique des formules de calcul du nombre de milnor d'une intersection complete quasi-homogene a singularite isolee, dues respectivement a g. M. Greuel et m. Giusti, inspiree de la methode d'echange d'equations de ce dernier. Nous calculons ensuite differentes equations fonctionnelles pour une telle intersection complete, sous certaines hypotheses supplementaires, en montrant qu'il suffit de trouver, pour chaque equation, un ideal quasi-homogene de colongueur finie adapte. Nous prouvons de plus qu'en dimension deux, l'ideal de bernstein-sato associe a deux polynomes quasi-homogenes a singularite isolee, definissant l'origine, est principal, et nous determinons son generateur. Dans la seconde partie, nous nous interessons aux germes semi-quasi-homogenes ; ce sont des deformations a nombre de milnor constant des intersections completes quasi-homogenes a singularite isolee donnees par les formes initiales de leurs equations. Nous obtenons un algorithme pour construire une equation fonctionnelle verifiee par une application semi-quasi-homogene telle que toute famille de fonctions extraite soit encore semi-quasi-homogene. La demonstration de ce resultat utilise un theoreme de division par un ideal de colongueur finie, avec controle des poids, dans l'anneau des germes de fonctions holomorphes