Abstract FR:

L'objet principal de la these est l'etude des semigroupes de markov sur l'espace de hilbert des fonctions de carre integrable d'un ensemble probabilise, et plus precisement la caracterisation de la propriete de positivite, au moyen de considerations et d'outils algebriques. Nous etudions en effet les semigroupes par l'intermediaire de leurs decompositions spectrales sur une base de vecteurs propres convenablement choisie. Nous demontrons l'equivalence entre la propriete de positivite d'un semi-groupe et la positivite du carre du champ associe. Nous classifions ensuite les semigroupes de diffusion sur r, pour lesquels il existe une base de vecteurs propres de polynomes orthogonaux. En vue d'etendre cette classification a tous les semigroupes de markov, nous caracterisons les valeurs propres d'un operateur positif sur la base des polynomes de hermite, puis nous donnons des descriptions trajectorielle et geometrique des processus associes aux semigroupes. Enfin, en vue d'etudier de facon plus generale le role de la base de vecteurs propres sur le semigroupes de markov qui lui est associe, nous traitons le cas de l'ensemble fini, et plus particulierement les ensembles de cardinal 2 et 3.