Abstract FR:

Cette these est composee de quatre parties : dans la partie 1, on developpe des resultats concernant la serie de drinfeld. Cela consiste a etudier certaines solutions d'une equation differentielle lineaire du premier ordre du type de fuchs. Celles-ci s'expriment en fonction de certaines fonctions, appelees polylogarithmes. Ainsi les coefficients de cette serie sont certaines valeurs de polylogarithmes liees fortement a la fonction zeta de riemann multiple (ou nombres d'euler/zagier mixtes). La partie 2 est consacree a l'etude des systemes differentiels de knizhnik-zamolodchikov k z#n. On y introduit une certaine categorie monoidale stricte dont les morphismes t sont des arbres binaires a branches multiples. A chaque t on associe une solution f#t(z) de k z#n. Par decomposition de t on prouve qu'une solution de k z#n s'exprime comme le produit de deux fonctions qui sont solutions, l'une d'un systeme k z#n##1, deduit de k z#n, et l'autre d'une certaine equation differentielle du premier ordre. Cela etablit une compatibilite entre les solutions de k z#n et celles de k z#m (m < n) d'ordre inferieur. On fait aussi la liaison avec la monodromie universelle de k z#n en termes de cette categorie. Dans la partie 3, on etudie en detail une autre presentation, plus symetrique et directement sur les p-fonctions de riemann, des resultats classiques a propos de la fonction hypergeometrique classique. La partie 4 est consacree entierement a la construction des isomorphismes entre l'algebre de hecke du type a et l'algebre de groupe du groupe symetrique. Pour cela, on considere un systeme k z#n specialise a valeurs dans l'algebre de groupe du groupe symetrique, et ensuite on determine explicitement la monodromie correspondante. Ainsi, c'est cette monodromie, apres conjugaisons du type local, qui nous fournit un isomorphisme generique.