Abstract FR:

Cette these est motivee par deux questions posees par m. Mendes france, a savoir: la longueur de la fraction continue de la puissance n-ieme d'un nombre rationnel, qui n'est ni un entier ni l'inverse d'un entier, tend-elle vers l'infini avec n ? la longueur de la periode du developpement en fraction continue de la puissance n-ieme d'un nombre quadratique reel tend-elle vers l'infini avec n ? dans la premiere partie, nous repondons affirmativement a la premiere question. Nous etendons ensuite ce resultat aux fractions rationnelles a coefficients dans un corps k. Deux methodes differentes sont developpees selon que la caracteristique de k est nulle ou non. Dans la seconde partie, nous montrons de maniere effective, que pour une tres large classe de nombres reels quadratiques, la reponse a la seconde question est aussi affirmative. La minoration obtenue est notablement amelioree dans le cas des corps quadratiques principaux. Grace a la notion de quasi-periode, nous etendons ces resultats aux series de laurent quadratiques a coefficients dans un corps de caracteristique nulle