Abstract FR:

On etudie les proprietes multiplicatives des valeurs prises par des polynomes a coefficients entiers. La premiere partie est consacree aux polynomes en une variable particuliers n#2 + 1 et n#3 + 2. On montre que pour < 1/12. 2, on peut trouver h > 0, tel qu'il existe une proportion positive d'entiers n ayant tous leurs facteurs premiers superieurs a n#, et tels que n#2 + 1 ait un facteur premier superieur a n#1#+#h. On montre aussi que pour b < 149/179, il existe une proportion positive d'entiers n tels que n#2 + 1 ait tous ses facteurs premiers inferieurs a n#b. On etablit encore quelques resultats sur le polynome n#3 + 2, qui se situent dans la suite des travaux de hooley sur ce sujet. La deuxieme partie concerne les polynomes en plusieurs variables. On obtient des minorations significatives de l'ordre de grandeur du plus grand facteur premier de f(p#1, p#2), pour une proportion positive de (p#1, p#2), f etant un polynome de degre 2 ou 3. Ce resultat ameliore et generalise un precedent travail de plaksin. Des minorations analogues sont etablies pour de f(p#1, p#2, n#3), f etant un polynome de degre 3, et pour le polynome particulier f(p#1, p#2, n#3, n#4) = 1 + p#4#1 + p#4#2 + n#5#3 + n#6#4. La methode suivie est celle de tchebychev-hooley. Elle reprend des resultats classiques sur les progressions arithmetiques, et combine des methodes de crible et de sommes d'exponentielles le long de varietes definies sur des corps finis. Ces majorations permettent encore d'etudier le nombre de facteurs premiers distincts de f(p#1, p#2), que l'on note (f(p#1, p#2)). On montre en combinant les poids de richert avec un crible de dimension 2 que l'inegalite (f(p#1, p#2)) < 6d/7 + 5. 28 est verifiee pour un infinite de couples (p#1, p#2), d etant le degre de f. Lorsque d > 30, ce resultat ameliore un precedent travail de greaves