Abstract FR:

Le but de cette thèse est d'étudier les transformations symplectiques du point de vue global et leurs propriétés topologiques. Des capacités symplectiques sont associées aux classes d'homotopie dans les fibres cotangents de surfaces de Riemann et des variétés dont l'homotopie des chemins basés sur le bord est non triviale. L'invariance du spectre par les transformations symplectiques est démontrée pour des ouverts même non bornés ou non réguliers dont le spectre est assez stable. Cela est le cas pour les complémentaires d'hyperplans convenablement troués un trou sphérique par exemple et pour les sous-niveaux d'énergie positive de fonctions hamiltoniennes associées à des potentiels newtoniens super-quadratiques; cela est aussi le cas pour des fibres en boules associés à des métriques à courbure strictement négative sur des surfaces de Riemann