Abstract FR:

Dans son celebre article paru dans le journal de mathematiques pures et appliquees en 1919, garnier s'interrogeait une equation differentielle possedant une singularite irreguliere peut etre envisagee comme la limite d'une equation pourvue de points singuliers reguliers infiniment voisins ; la conclusion peut-elle etre etendue a leurs integrales ?. La technique employee par garnier s'est averee plus riche encore que le probleme initial et fait l'objet de cette these : etudier le phenomene de confluence de singularites regulieres d'edl en une singularite irreguliere. On considere ici un systeme differentiel admettant une singularite irreguliere de rang r en 0 et un systeme associe admettant r + 1 singularites regulieres de sorte que le premier soit limite du second lorsque tend vers 0. Nous utilisons en outre une technique de cisaillement pour se ramener, par un changement d'inconnue, a deux systemes de tailles plus petites jusqu'au cas scalaire. Nous donnons des solutions fondamentales s'ecrivant comme le produit d'un facteur matriciel et d'une partie exponentielle traduisant exactement les exposants de chaque singularite. Le but principal de ce travail est d'etablir l'existence d'une solution du second systeme holomorphe sur certains secteurs de sommet 0 puis un resultat de convergence uniforme vers la solution canonique du premier systeme. Nous montrerons egalement que la solution du second systeme admet un developpement asymptotique en d'ordre gevrey 1/r.