Abstract FR:

Cette these est composee de quatre parties. Dans la premiere partie, nous etudions les foncteurs derives des limites projectives dans les categories quasi-abeliennes generales en utilisant le langage des categories derivees. Nous etablissons notamment l'existence de ces foncteurs derives lorsque la categorie consideree a des produits exacts. Nous montrons egalement l'invariance des limites projectives derivees par composition avec un foncteur cofinal et en tirons qu'elles peuvent s'exprimer en termes de pro-objets. La theorie developpee dans la premiere partie nous permet d'etablir dans la seconde quelques proprietes d'exactitude du foncteur limite projective dans le cas plus specifique des groupes abeliens topologiques. La troisieme partie est consacree a l'etude de la derivee la categorie t c des espaces vectoriels topologiques localement convexes. Nous degageons en particulier la notion de completude cohomologique et montrons que la sous-categorie de la categorie derivee de t c formee de complexes cohomologiquement complets est equivalente a la categorie derivee de la categorie des pro-espaces de banach. Nous montrons egalement comment notre point de vue permet de clarifier divers resultats de palamodov sur l'homologie des espaces localement convexes. Enfin, dans la quatrieme partie, en travaillant dans la categorie derivee des faisceaux a valeurs dans les ind-espaces de banach et en utilisant certains resultats de schneiders concernant la dualite de poincare dans cette categorie, nous etablissons un theoreme de reconstruction topologique pour les complexes parfaits de d#-modules. Ce resultat repose sur des theoremes d'acyclicite que nous demontrons en faisant appel aux techniques developpees dans les trois premieres parties.