Abstract FR:

Etude lorsque t tend vers l'infini, du comportement des solutions d'un probleme d'evolution elliptique, conservatif, sur une variete riemannienne compacte. Premiere partie: perturbation lineaire d'un operateur monotone (laplacien associe a une non-linearite analogue a une puissance). On montre que toute solution positive converge vers une solution du probleme stationnaire associe. Pour les solutions de signe quelconque, on dispose, sous certaines conditions, d'un resultat d'homogeneisation asymptotique. Dans tous les cas, le systeme dynamique associe possede un attracteur maximal forme des solutions globales. Deuxieme partie: generalisation aux solutions positives d'un systeme d'equations aux derivees partielles elliptiques avec couplage non lineaire. Troisieme partie: on considere une perturbation non-lineaire (de type puissance) d'un operateur lineaire. Nos travaux portent sur la recherche de conditions, portant sur la norme infinie d'une solution, qui impliquent l'homogeneisation des solutions positives. Dans le cas de la sphere s1, on montre, en utilisant une decomposition de fourier, l'existence de solutions s'homogeneisant autour de n'importe quelle solution homogene. On etudie enfin le probleme modifie, en remplacant une certaine puissance de la solution, par sa moyenne