Abstract FR:

E. -u. Gekeler et m. Reversat ont etudie les liens entre les formes modulaires et les formes automorphes sur un corps de fonctions de caracteristique p, k. Leurs travaux montrent l'importance des cocycles harmoniques (fonctions des aretes orientees de l'arbre de bruhat-tits de pgl#2(k'), (k' complete de k a une place fixee) satisfaisant la loi des noeuds ) et de l'application r, introduite par m. Van der put, analogue a la derivee logarithmique. D'abord, nous supposons que k = f#q(t) (f#q corps fini a q elements) et developpons l'analyse de fourier pour les cocycles harmoniques stables sous l'action du sous-groupe de congruence gamma(p), avec p , f#qt, premier. Puis, nous considerons une extension quadratique imaginaire l de f#q(t) et determinons les coefficients de fourier des cocycles harmoniques stables sous l'action de gl#2(b) (b fermeture integrale de f#qt dans l). Nous determinons, pour cela, un domaine fondamental pour l dans a#l (a#l anneau des adeles de l). Ensuite, m. Van der put a introduit une application r associant un cocycle harmonique a une fonction holomorphe inversible du demi-plan de drinfeld. Grace a celle-ci, nous etudions les series d'eisenstein e#u (elles sont definies grace a une condition de congruence). E#u est une forme modulaire de poids 1 pour gamma(n), inversible sur le demi-plan de drinfeld. Nous determinons r(e#u) et la norme spectrale de e#u. Enfin, nous adaptons la methode precedente pour etudier les series d'eisenstein e#q#(#k# ## #1#) qui sont des formes modulaires de poids q#k 1 pour gl#2(f#qt) ayant des zeros dans des ouverts particuliers de. Nous prolongeons la fonction r aux fonctions holomorphes dont les zeros appartiennent a ces ouverts, puis nous determinons r(e#(#q#(#k#)# ## #1#)) et la norme spectrale de e#(#q#(#k#)# ## #1).