Abstract FR:

Cette thèse aborde avec des outils de la théorie des singularités deux problèmes de la théorie du contrôle : les métriques sous-riemanniennes et l'observabilité des systèmes non linéaires. A tout problème isopérimétrique sur une surface riemannienne on peut localement associer une métrique sous-riemannienne de contact en dimension 3. Le cas particulier des problèmes de Didon correspond à une classe de métriques sous-riemanniennes de contact singulières : les métriques sous-riemannienne de contact admettant pour symétrie le champ caractéristique. Nous donnons la classification du lieu conjugué de toutes les situations génériques (c'est-à-dire la classification des singularités génériques de l'application exponentielle) pour une famille à un paramètre de métriques sous-riemanniennes correspondant à une famille de problèmes de Didon riemanniens. En ce qui concerne l'observabilité non linéaire, nous montrons que dans l'ensemble des systèmes non linéaires, lisses ou analytiques, affines en le contrôle, avec une entrée et au moins deux sorties supposées indépendantes de l'entrée, l'observabilité est une propriété générique. En d'autres termes, cela signifie que l'application entrée-sortie n'admet pas de singularités génériques.